有限数学示例

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.1.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 2.2.1.3

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.1.3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{12}$

解题步骤 2.2.2

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{12}$

解题步骤 2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{6}{2 \cdot 6} - \frac{1}{12}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6}{12} - \frac{1}{12}$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{6 - 1}{12}$

解题步骤 2.2.5

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{5}{12}$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{5}{12}} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 5

将分子乘以分母的倒数。

$1 (\frac{12}{5}) [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 6

将 $\frac{12}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{12}{5} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 7

将 $\frac{12}{5}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 8.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.1.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.1.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 3 & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 3}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.4.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.4.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.4.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \cdot - 1 \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.5

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3 \cdot - 1}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{- 3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.7

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.8.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.8.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.8.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.8.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \cdot - 1 & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.9

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4 \cdot - 1}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.10

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.11

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.12

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.12.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.12.2

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

解题步骤 8.12.3

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 8.13

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4 \cdot 2}{5} \end{array}]$

解题步骤 8.14

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{8}{5} \end{array}]$

有限数学 示例

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